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定义在R上的狄利克雷函数为 D(x)= 和定义在[0,1]上的黎曼函数为 R(x)= 试求D(R(x))和R(D(x)).
定义在R上的狄利克雷函数为 D(x)= 和定义在[0,1]上的黎曼函数为 R(x)= 试求D(R(x))和R(D(x)).
admin
2022-10-31
34
问题
定义在R上的狄利克雷函数为
D(x)=
和定义在[0,1]上的黎曼函数为
R(x)=
试求D(R(x))和R(D(x)).
选项
答案
先求D(R(x)).因为R(x)的值域包含在D的定义域中,于是D与R可以复合. 当x∈(0,1),x=p/q,p,q为互质正整数,有R(p/q)=1/q,而D(R(p/q))=D(1/q)=1. 当x为0,1或(0,1)中无理数时,R(x)=0.而D(0)=1,因而D(R(x))≡1,x∈[0,1]. 再讨论R(D(x)),因为D(x)的值域仅有{0,1}两点,包含于R(x)的定义域中且R(0)=R(1)=0,于是R(D(x))≡0,x∈R.
解析
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考研数学三
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