设f(χ)= (Ⅰ)讨论f(χ)的连续性,若有间断点并指出间断点的类型; (Ⅱ)判断f(χ)在(-∞,1]是否有界,并说明理由.

admin2020-05-09  73

问题 设f(χ)=
    (Ⅰ)讨论f(χ)的连续性,若有间断点并指出间断点的类型;
    (Ⅱ)判断f(χ)在(-∞,1]是否有界,并说明理由.

选项

答案(Ⅰ)当χ≠0,χ≠1时,显然f(χ)连续.在χ=0处,由 [*] [*]f(χ)在点χ=0处不连续,且点χ=0是f(χ)的第一类间断点. 在χ=1处,由 [*] [*]f(χ)在点χ=1处既左连续又右连续,于是f(χ)在点χ=1处连续. 因此f(χ)在(-∞,0),(0,+∞)连续,χ=0是f(χ)的第一类间断点. (Ⅱ)题(Ⅰ)中已证明这个分段函数在(-∞,0],(0,1]连续,且[*]f(χ)存在,要判断f(χ)在(-∞,1]上的有界性,只需再考察[*]f(χ),即 [*] 因f(χ)在(-∞,0]连续,又[*]f(χ)存在[*]f(χ)在(-∞,0]有界.f(χ)在(0,1]连续,又[*]f(χ)存在[*]f(χ)在(0,1]有界.因此f(χ)在(-∞,1]有界.

解析
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