(2012年)已知曲线L：其中函数f(t)具有连续导数，且f(0)=0，若曲线L的切线与x轴的交点到切点的距离恒为1，求函数f(t)的表达式，并求以曲线L及x轴和y轴为边界的区域的面积。

admin2018-03-11 76

问题 (2012年)已知曲线L：

其中函数f(t)具有连续导数，且f(0)=0，

若曲线L的切线与x轴的交点到切点的距离恒为1，求函数f(t)的表达式，并求以曲线L及x轴和y轴为边界的区域的面积。

选项

答案曲线L在任一点(x，y)的切线斜率为[*]过该点的切线为 [*] 令y=0，得X=f′(t)cott+f(t)。由于曲线L的切线与x轴的交点到切点的距离恒为1。故有 [f′(t)cott+f(t)一f(t)]²+cos²t=1，又因为[*]所以[*]两边同时取不定积分可得 f(t)=ln|sect+tant|—sint+C，又由于f(0)=0，所以C=0。故函数 f(t)=In|sect+tant|—sint。曲线L与x轴和y轴所围成的无界区域的面积为 [*]

解析

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考研数学一

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(2012年)已知曲线L：其中函数f(t)具有连续导数，且f(0)=0，若曲线L的切线与x轴的交点到切点的距离恒为1，求函数f(t)的表达式，并求以曲线L及x轴和y轴为边界的区域的面积。

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