2. 考研
  3. 设f(x)在区间[0，1]上连续，在区间(0，1)内存在二阶导数，且f(0)=f(1)．证明：存在ξ∈(0，1)使2f’(ξ)+ξf"(ξ)=0．

设f(x)在区间[0，1]上连续，在区间(0，1)内存在二阶导数，且f(0)=f(1)．证明：存在ξ∈(0，1)使2f’(ξ)+ξf"(ξ)=0．

admin2018-08-22  36
问题 设f(x)在区间[0，1]上连续，在区间(0，1)内存在二阶导数，且f(0)=f(1)．证明：存在ξ∈(0，1)使2f’(ξ)+ξf"(ξ)=0．
选项
答案由f(0)=f(1)知，存在η∈(0，1)使f’(η)=0． 令F(x)=x2f’(x)，有F(0)=0，F(η)=η2f’(η)=0，故知存在ξ∈(0，η)[*](0，1)使F’(ξ)=0． 而F’(x)=2xf’(x)+x2f"(x)，于是有2ξf’(ξ)+ξ2f"(ξ)=0． 又ξ≠0，所以2f’(ξ)+ξf"(ξ)=0．证毕．
解析
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考研数学二

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