2. 考研
  3. 设函数f(x)在(-∞，+∞)内具有一阶连续导数，L是上半平面(y＞0)内的有向分段光滑曲线，其始点为(a，b)，终点为(c，d)．记 I=∫L[1+y2f(xy)]dx+[y2f(xy)-1]dy， 当ab=cd时，求I的值．

设函数f(x)在(-∞，+∞)内具有一阶连续导数，L是上半平面(y＞0)内的有向分段光滑曲线，其始点为(a，b)，终点为(c，d)．记 I=∫L[1+y2f(xy)]dx+[y2f(xy)-1]dy， 当ab=cd时，求I的值．

admin2023-03-22  18
问题 设函数f(x)在(-∞，+∞)内具有一阶连续导数，L是上半平面(y＞0)内的有向分段光滑曲线，其始点为(a，b)，终点为(c，d)．记
    I=∫L[1+y2f(xy)]dx+[y2f(xy)-1]dy，
当ab=cd时，求I的值．
选项
答案解法1 由于积分I与路径无关，所以 [*] 当ab=cd时，∫abcdf(t)dt=0，所以[*] 解法2 I=∫L[*]+∫Lyf(xy)dx+xf(xy)dy =[*]+∫Lf(xy)[ydx+xdy]=[*]+∫Lf(xy)d(xy) 因为f(t)连续，所以F(t)=∫0tf(t)dt存在，而 dF(t)=f(t)dt=f(xy)(xdx+ydy)， 因此 ∫Lf(xy)d(xy)=F(xy)｜(a，b)(c，d)=F(cd)-F(ab)． 当ab=cd时，∫Lf(xy)d(xy)=0，由此得I=[*]
解析
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考研数学二

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