已知A是3阶的实对称矩阵,α1=(1,-1,-1)T,α2=(-2,1,0)T是齐次线性方程组Ax=0的解,又(A- 6E)α=0,α≠0. 求α和二次型xTAx表达式;

admin2019-12-26  50

问题 已知A是3阶的实对称矩阵,α1=(1,-1,-1)T,α2=(-2,1,0)T是齐次线性方程组Ax=0的解,又(A-
6E)α=0,α≠0.
求α和二次型xTAx表达式;

选项

答案由Aα1=0=0α1,Aα2=0=0α2,知λ12=0是矩阵A的特征值,α1,α2是矩阵A的属于特征值0的线性无关的特征向量.由已知Aα=6α,且α≠0,所以λ3=6是A的特征值,设α=(x1,x2,x3)T,由于实对称矩阵不同的特征值对应的特征向量正交,于是 [*] 解得λ3=6的一个特征向量为α=(1,2,-1)T. 由A(α1,α2,α)=(0,0,6α),得 [*] 故 f=xTAx=x12+4x22+x32+4x1x2—2x1x3—4x2x3

解析
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