求函数f(x，y)＝x2＋y2－xy－y在由直线x＋y＝6、x轴及y轴所围成的封闭区域D上的最大值和最小值。

admin2019-01-25 58

问题求函数f(x，y)＝x²＋y²－xy－y在由直线x＋y＝6、x轴及y轴所围成的封闭区域D上的最大值和最小值。

选项

答案因为函数在闭区域D上连续，所以必存在最大值和最小值。首先，求f(x，y)＝x²＋y²－xy－y在D内部的极值：解方程组[*] 解得区域D内部唯一的驻点为[*]，因为A＝f＂_xx＝2，B＝f＂_xx＝－1，C＝f＂_yy＝2，可知A＞0，AC－B²＝3＞0，因此[*]为极小值点。此时函数值为[*]。其次，求f(x，y)＝x²＋y²－xy－y在D的边界上的极值：边界上的极值属于条件极值，在x＋y＝6的条件下，拉格朗日函数为 F(x，y，λ)＝x²＋y²－xy－y＋λ(x＋y－6)，解方程组[*] 得可能的极值点为[*]，此时函数值为[*]。在区域下边界y＝0(O≤x≤6)上，函数f(x，0)＝x²最小值为0，最大值为36；在区域左边界x＝0(0≤y≤6)上，函数f(0，y)＝y²－y最小值为[*]，最大值为30。综上所述，函数f(x，y)＝x²＋y²－xy－y在区域D上的最小值为[*]，最大值为36。

解析本题考查二元函数的最值。该题先分成两部分求极值，再比较各极值得出最值。在区域内部，先求出驻点，利用二元函数极值的充分条件判断驻点是否为极值；区域边界上的极值属于条件极值，利用拉格朗日乘数法求出各边界的极值。

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考研数学三

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