求由方程x2＋2y2＋z2＋2xz－4yz－2z＋4＝0确定的二元函数z＝z(x，y)的极值点与极值．

admin2021-03-16 53

问题求由方程x²＋2y²＋z²＋2xz－4yz－2z＋4＝0确定的二元函数z＝z(x，y)的极值点与极值．

选项

答案x²＋2y²＋z²＋2xz－4yz－2z＋4＝0分别对x，y求偏导得[*] 取[*]代入得x＝－z，y＝z，代入原方程得z²＋z－2＝0．解得z₁＝1，z₂＝－2．当z₁＝1时，[*]当z₂＝－2时，[*] 由[*] 得[*] 当(x，y)＝(－1，1)时，将x＝－1，y＝1，z＝1，[*]代入得 [*] 因为AC－B²＞0且A＞0，所以(－1，1)为z＝z(x，y)的极小值点，极小值为z＝1；当(x，y)＝(2，－2)时，将x＝2，y＝－2，z＝－2，[*]代入得 [*] 因为AC－B²＞0且A＜0，所以(2，－2)为z＝z(x，y)的极大值点，极大值为z＝－2．

解析

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