设平面区域D由直线y=x,圆x2+y2=2y及y轴所围成,则二重积分xydσ=_______。

admin2018-04-14  59

问题 设平面区域D由直线y=x,圆x2+y2=2y及y轴所围成,则二重积分xydσ=_______。

选项

答案7/12

解析 方法一:利用极坐标变换,D:π/4≤θ≤π/2,0≤r≤2sinθ,因此
xydσ=∫π/4π/2dθ∫02sinθr2cosθsinθrdr=∫π/4π/2cosθsinθ.r4/4|02sinθ
=4∫π/4π/2sin5θOd(sinθ)=2/3sin6θ|π/4π/2=7/12。
方法二:根据直角坐标变换,已知直线和圆的交点为(1,1),上半圆周的方程为
y=1+
直角坐标区域为
D:0≤x≤1,x≤y≤1+

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