设数列{xn}满足0<x1<π,xn+1=sinxn(n=1,2,…)。 证明xn存在,并求该极限。

admin2018-01-30  57

问题 设数列{xn}满足0<x1<π,xn+1=sinxn(n=1,2,…)。
证明xn存在,并求该极限。

选项

答案0<x1<π,则0<x2=sinx1≤1<π。由数学归纳法知0<xn+1=sinxn≤1<π,n=1,2,…,即数列{xn}有界。 于是[*]<1(因当x>0时,sinx<x),则有xn+1<xn,可见数列{xn}单调减少,故由单调减少有下界数列必有极限知,极限[*]存在。 设[*]xn=l,在xn+1=sinxn两边令n→∞,得l=sinl,解得l=0,即[*]=0。

解析
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