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设奇函数f(x)在[-1,1]上具有二阶导数,且f(1)=1,证明: (Ⅰ)存在ξ∈(0,1),使得f’(ξ)=1; (Ⅱ)存在η∈(-1,1),使得f’’(η)+f’(η)=1。
设奇函数f(x)在[-1,1]上具有二阶导数,且f(1)=1,证明: (Ⅰ)存在ξ∈(0,1),使得f’(ξ)=1; (Ⅱ)存在η∈(-1,1),使得f’’(η)+f’(η)=1。
admin
2017-01-14
25
问题
设奇函数f(x)在[-1,1]上具有二阶导数,且f(1)=1,证明:
(Ⅰ)存在ξ∈(0,1),使得f’(ξ)=1;
(Ⅱ)存在η∈(-1,1),使得f’’(η)+f’(η)=1。
选项
答案
(Ⅰ)令F(x)=f(x)-x,则 F(0)=f(0)=0,F(1)=f(1)-1=0, 由罗尔定理知,存在ξ∈(0,1)使得F’(ξ)=0,即f’(ξ)=1。 (Ⅱ)令G(x)=e
x
[f’(x)-1],由(Ⅰ)知,存在ξ∈(0,1),使C(ξ)=0,又因为f(x)为奇函数,故f’(x)为偶函数,知G(-ξ)=0,则存在η∈(-ξ,ξ)[*](-1,1),使得 G’(η)=e
η
(f’(η)-1)+e
η
f’’(η)=0, f’’(η)+f’(η)=1。
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/4iwRFFFM
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考研数学一
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