(2002年试题，一)已知实二次型f(x1，x2，x3)=a(x12+x22+x32)+4x1x2+4x1x3+4x2x3经正交变换x=Py可化成标准形f=6y12，则a=______________．

admin2013-12-27 95

问题 (2002年试题，一)已知实二次型f(x₁，x₂，x₃)=a(x₁²+x₂²+x₃²)+4x₁x₂+4x₁x₃+4x₂x₃经正交变换x=Py可化成标准形f=6y₁²，则a=______________．

选项

答案由题设，原二次型的标准型为f=6y₁²，则二次型相应矩阵的秩等于1，且相应特征值为6，0，0，设原二次型的相应矩阵为A，则[*]当a≠2时，可化为[*]此时rA≥2；当a=2时，可化为[*]此时rA=1．由此得出a=2．解析二;因为二次型经正交变换化为标准形时，标准形中平方项的系数就是二次型矩阵的特征值．即6，0，0是矩阵A的特征值．又∑α_ij=∑λ_ij故a+a+a=6+0+0，即得a=2．解析三依题设知，二次型f所对应的实对称矩阵的特征值为6，0，0．又实对称矩阵[*]其特征多项式[*]故有a+4=6，a一2=0．即得a=2．解析四;因A，B为相似矩阵，对应特征多项式相同，即｜λE一A｜=｜λE一B｜故而有[*]即[λ一(a+4)][λ一(a一2)]²=λ³一6λ²λ³一3aλ²+3(a²一4)λ一(a+4)(a一2)²=λ³一6λ²由同次幂的系数相等，得a=2．

解析

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考研数学一

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(2002年试题，一)已知实二次型f(x1，x2，x3)=a(x12+x22+x32)+4x1x2+4x1x3+4x2x3经正交变换x=Py可化成标准形f=6y12，则a=______________．

考研数学一

已知向量组A：α1=(0，1，2，3)T，α2=(3，0，1，2)T，α3=(2，3，0，1)T；B：β1=(2，1，1，2)T，β2=(0，一2，1，1)T，β3=(4，4，1，3)T．试证B组能由A组线性表示，但A组不能由B组线性表示．

设函数f(x)满足关系式f”(x)+[f’(x)]2=x，且f’(0)=0，则()

已知4阶方阵A=(α1，α2，α3，α4)，其中α1，α2，α3，α4均为4维列向量，且α2，α3，α4线性无关，α1=2α2-α3．如果β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组Ax=β的通解．

设矩阵A=(α1，α2，α3)，其中α1，α2，α3是4维列向量，已知非齐次线性方程组Ax=b的通解为x=k(1，-2，3)T+(1，2，-1)T，k为任意常数．试求α1，α2，α3的一个极大线性无关组，并把向量b用此极大线性无关组线性表示；

设y1(x)和y2(x)是微分方程y“+p(x)y+q(x)y=0的两个特解，则由y1(x)，y2(x)能构成该方程的通解的充分条件为()

设a1，a2线性无关，a1+b，a2+b线性相关，求向量b用a1，a2线性表示的表示式．

设函数f(x)在区间[a，b]上连续，在(a，b)内可导，且f’(x)＞0，如果存在，证明：存在与第二问中ξ不同的η∈(a，b)，使得

设3阶实对称矩阵A的各行元素之和均为3，向量α11＝(－1，2，－1)，α2＝(0，－1，1)T是线性方程组Ax＝0的两个解．已知正交变换x＝Qy把二次型f＝xTAx化为标准形，求矩阵Q和

商店收进甲厂生产的产品30箱，乙厂生产的同种产品20箱，甲厂产品每箱装100个，废品率为0．06，乙厂产品每箱120个，废品率为0．05．若将所有产品开箱混装，任取一个其为废品的概率

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将本身没有逻辑意义的材料人为地赋予某些意义，以便于记忆，也是一种形式的有意义学习。()

设

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有以下程序，程序运行后的输出结果是voidfun(intp1，intp2，intS){s＝(int)malloc(sizeof(int))；S＝p1＋*(p2＋＋)；}main(){inta[2]＝{1，2}，b[

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设函数f(x)满足关系式f”(x)+[f’(x)]2=x，且f’(0)=0，则()

已知4阶方阵A=(α1，α2，α3，α4)，其中α1，α2，α3，α4均为4维列向量，且α2，α3，α4线性无关，α1=2α2-α3．如果β=α1+α2+α3+α4，求线性方程组Ax=β的通解．

设矩阵A=(α1，α2，α3)，其中α1，α2，α3是4维列向量，已知非齐次线性方程组Ax=b的通解为x=k(1，-2，3)T+(1，2，-1)T，k为任意常数．试求α1，α2，α3的一个极大线性无关组，并把向量b用此极大线性无关组线性表示；

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