设f(χ)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,连接点A(a,f(a)),B(b,f(b))的直线与曲线y=f(χ)交于点C(c,f(c))(其中a<c<b).证明:存在ξ∈(a,b),使得f〞(ξ)=0.

admin2019-08-23  45

问题 设f(χ)在[a,b]上连续,在(a,b)内二阶可导,连接点A(a,f(a)),B(b,f(b))的直线与曲线y=f(χ)交于点C(c,f(c))(其中a<c<b).证明:存在ξ∈(a,b),使得f〞(ξ)=0.

选项

答案由微分中值定理,存在ξ1∈(a,c),ξ2∈(c,b),使得 [*] 因为点A,B,C共线,所以f′(ξ1)=f′(ξ2), 又因为f(χ)二阶可导,所以再由罗尔定理,存在ξ∈(ξ1,ξ2)[*](a,b),使得f〞(ξ)=0.

解析
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