如果两曲面称为是正交的,它们在交线上的任一点处的两个法向量互相垂直.证明:曲面z2=x2+y2与曲面x2+y2+z2=1正交.

admin2014-07-17  42

问题 如果两曲面称为是正交的,它们在交线上的任一点处的两个法向量互相垂直.证明:曲面z2=x2+y2与曲面x2+y2+z2=1正交.

选项

答案设Mo(xo,yo,zo)为两曲线交线上任一点,则曲面z=x2+y2在Mo点处的法向量为n1=(-2xo,-2yo,2zo) 曲面x2+y2+z2=1在Mo点处的法向量,n2=(2xo,2yo,2zo). 于是有 n1×n2=(-2xo,-2yo,2zo)?(2xo,2yo,2zo)=-4x2o-4yo2+4zo2=4(zo2-xo2-yo2) 又因为点Mo在曲面z2=x2+y2上,故有z2o=x2o+y2o 得n1×n2=0,两曲面正交.

解析
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