2. 考研
  3. 设f(x1，x2，x3)＝(x1＋x3)2＋2(x2＋ax3)2＋(2x1＋x2＋x3)2． (Ⅰ)就a的不同取值，讨论f(x1，x2，x3)＝0的解； (Ⅱ)求二次型f(x1，x2，x3)的规范形．

设f(x1，x2，x3)＝(x1＋x3)2＋2(x2＋ax3)2＋(2x1＋x2＋x3)2． (Ⅰ)就a的不同取值，讨论f(x1，x2，x3)＝0的解； (Ⅱ)求二次型f(x1，x2，x3)的规范形．

admin2021-03-18  23
问题 设f(x1，x2，x3)＝(x1＋x3)2＋2(x2＋ax3)2＋(2x1＋x2＋x3)2．
(Ⅰ)就a的不同取值，讨论f(x1，x2，x3)＝0的解；
(Ⅱ)求二次型f(x1，x2，x3)的规范形．
选项
答案(Ⅰ)f(x1，x2，x3)＝(x1＋x3)2＋2(x2＋ax3)2＋(2x1＋x2＋x3)2＝0等价于[*] 令A＝[*] 当a≠－1时，f(x1，x2，x3)＝0只有零解，即X＝[*]； 当a＝－1时，由[*]得 f(x1，x2，x3)＝0的通解为X＝k[*](k为任意常数)． (Ⅱ)当a≠－1时，二次型f(x1，x2，x3)的规范形为y12＋y22＋y32； 当a＝－1时， f(x1，x2，x3)＝(x1＋x3)2＋2(x2－x3)2＋(2x1＋x2＋x3)2。 ＝5x12＋3x22＋4x32＋4x1x2－2x2x3＋6x1x3＝XTBX， 其中B＝[*] 由｜λE－B｜＝[*]＝λ(λ2－12λ＋33)＝0得 λ1＝6＋[*]＞0，λ2＝6－[*]＞0，λ3＝0， 故二次型f(x1，x2，x3)的规范形为y12＋y22．
解析
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考研数学二

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