设f(x)在(-∞，+∞)内有定义，对任意x，y∈(-∞，+∞)，满足f(x+y)=exf(y)+eyf(x)，且f’(0)=e，则 f(x)=( )

admin2022-05-26 5

问题设f(x)在(-∞，+∞)内有定义，对任意x，y∈(-∞，+∞)，满足f(x+y)=e^xf(y)+e^yf(x)，且f’(0)=e，则 f(x)=( )

选项 A、xe^x
B、e^x+1
C、(x+1)e^x
D、xe^x+1

答案D

解析在已知等式中，令x=y=0，则f(0)=2f(0)，即f(0)=0，故

　　 =e^xf’(0)+f(x)=e^x·1+f(x)．
　　解一阶线性微分方程
　　 f’(x)-f(x)=e^x+1，f(0)=0，
　　得f(x)=xe^x+1．D正确．

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