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  3. (2018年)过点(1，0，0)，(0，1，0)，且与曲面z=x2+y2相切的平面为

(2018年)过点(1，0，0)，(0，1，0)，且与曲面z=x2+y2相切的平面为

admin2018-07-01  93
问题 (2018年)过点(1，0，0)，(0，1，0)，且与曲面z=x2+y2相切的平面为
选项 A、z=0与x+y—z=1．
B、z=0与2x+2y—z=2．
C、x=y与x+y—z=1．
D、x=y与2x+2y一z=2．
答案B
解析 解1  排除法  选B
    显然点(1，0，0)不满足方程x=y，则选项C、D都不正确．
    平面x+y一z=1的法线向量为n1=(1，1，一1)
    曲面z=x2+y2在点(x，y，z)处的法线向量为n2=(2x，2y，一1)
    则   
    代入z=x2+y2得  
     但不满足方程    x+y—z=1
    则选项A不正确，故应选B.
    解2  直接法  选B
    过点(1，0，0)，(0，1，0)的直线方程为
    即  
    过该直线的平面族方程为    λ(x+y一1)+z=0
    即      λx+λy+z—λ=0
    法线向量为    n1=(λ，λ，1)
    曲面z=x2+y2在点(x，y，z)处的法线向量为n2=(2x，2y，一1)
    则  
    即  
    将其代入z=x2+y2及λx+λy+z一λ=0得  
    解得λ1=0，λ2=一2，代入λx+λy+z一λ=0得
                 z=0，2x+2y—z=2．
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