n维向量组α1,α2,…,αs(3≤s≤n)线性无关的充要条件是 ( )

admin2019-03-14  41

问题 n维向量组α1,α2,…,αs(3≤s≤n)线性无关的充要条件是    (    )

选项 A、存在一组全为零的数k1,k2,…,ks,使
    k1α1+k1α2+…+ksαs=0
B、α1,α2,…,αs中任意两个向量都线性无关
C、α1,α2,…,αs中任意一个向量都不能由其余向量线性表出
D、存在一组不全为零的数k1,k2,…,ks,使
    k1α1+k1α2+…+ksαs=0

答案C

解析 可用反证法证明之:必要性:假设有一向量,如αs可由α1,α2,…,αs一1线性表出,则α1,α2,…,αs线性相关,这和已知矛盾,故任一向量均不能由其余向量线性表出;充分性:假设α1,α2,…,αs线性相关←→至少存在一个向量可由其余向量线性表出,这和已知矛盾,故α1,α2,…,αs线性无关.(A)对任何向量组都有0α1+0α2+…+0αs=0的结论.(B)必要但不充分,如α1=[0,1,0]T,α2=[1,1,0]T,α3=[1,0,0]T任两个线性无关,但α1,α2,α3线性相关.(D)必要但不充分.如上例α123≠0,但α1,α2,α3线性相关.
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