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  3. n阶矩阵A和B具有相同的特征值是A和B相似的( )

n阶矩阵A和B具有相同的特征值是A和B相似的( )

admin2019-08-12  31
问题 n阶矩阵A和B具有相同的特征值是A和B相似的(    )
选项 A、充分必要条件。
B、必要而非充分条件。
C、充分而非必要条件。
D、既非充分也非必要条件。
答案B
解析 由A～B，即存在可逆矩阵P，使P－1AP=B，故
｜λE一B｜=｜λE一P－1AP｜=｜P－1(λE—A)P｜
=｜P－1｜｜λE—A｜｜P｜=｜λE—A｜，
即A与B有相同的特征值。
但当A，B有相同特征值时，A与B不一定相似。例如

虽然A，B有相同的特征值λ1=λ2=0，但由于r(A)≠r(B)，A，B不可能相似。
所以，相似的必要条件是A，B有相同的特征值。所以应选B。
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考研数学二

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