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  3. 设A是m×n矩阵．证明：r(A)＝1存在m维和n维非零列向量α和β，使得A＝αβT．

设A是m×n矩阵．证明：r(A)＝1存在m维和n维非零列向量α和β，使得A＝αβT．

admin2016-10-21  39
问题 设A是m×n矩阵．证明：r(A)＝1存在m维和n维非零列向量α和β，使得A＝αβT．
选项
答案“[*]”记A的列向量组为α1，α2，…，αn，则因为r(A)＝1，所以r(α1，α2，…，αn)＝1．于是A一定有非零列向量，记α为一个非零列向量，则每个αi都是α的倍数．设αi＝biα，i＝1，2，…，n．记B＝(b1，b2，…，bn)T，则β≠0，并且A＝(α1，α2，…，αn)＝(b1α，b2α，…，bnα)＝αβT． “[*]”设A＝αβT，则r(A)≤r(α)＝1．由于α，β都不是零向量，可设α的第i个分量αi≠0，β的第j个分量bi≠0．则A的(i，j)位元素为aibi≠0，因此A≠0，从而r(A)＞0．得r(A)＝1．
解析
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考研数学二

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