已知z9=1(z∈C，z≠1)，θ是z的辐角．证明： cosθ+cos2θ+cos4θ+cos6θ=一．

admin2019-01-23 0

问题已知z⁹=1(z∈C，z≠1)，θ是z的辐角．
证明：
cosθ+cos²θ+cos⁴θ+cos⁶θ=一

．

选项

答案由z⁹=1可得，｜z｜=1，即[*]，又z·z⁸=z⁹=1，故[*]=z⁸，同理可得[*] 则[*]=z⁸+z⁷+z⁵+z³，而1+z+z²+z³+z⁴+z⁵+z⁶+z⁷+z⁸=0，所以z+z²+z⁴+z⁶+[*]=—1．根据共轭复数的性质可得，z+z²+z⁴+z⁶的实部为[*] 根据复数可用复数的三角形式表示，又因为｜z｜=1，则z+z²+z⁴+z⁶的实部也可表示为cosθ+cos²θ+cos⁴θ+cos⁶θ，故cosθ+cos²θ+cos⁴θ+cos⁶θ=[*]．

解析

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