已知矩阵A=。 (Ⅰ)求A99; (Ⅱ)设三阶矩阵B=(α1,α2,α3)满足B2=BA,记B100=(β1,β2,β3),将β1,β2,β3分别表示为α1,α2,α3的线性组合。

admin2021-01-25  41

问题 已知矩阵A=
    (Ⅰ)求A99
    (Ⅱ)设三阶矩阵B=(α1,α2,α3)满足B2=BA,记B100=(β1,β2,β3),将β1,β2,β3分别表示为α1,α2,α3的线性组合。

选项

答案(Ⅰ)矩阵A的特征多项式为 |λE一A|=[*]=λ(λ+1)(λ+2), 则A的特征值为λ1=一1,λ2=一2,λ3=0。 解线性方程组(λiE—A)x=0(i=1,2,3)可得特征值λ1=一1,λ2=一2,λ3=0对应的特征向量分别为 α1=(1,1,0)T,α2=(1,2,0)T,α3=(3,2,2)T。 令P=(α1,α2,α3),则P-1AP=[*],所以 [*] (Ⅱ)由B2=BA→B3=BBA=B2A=BA2→…→B100=BA99,即 (β1,β2,β3)=(α1,α2,α3)[*], 则 β1=(299一2)α1+(2100一2)α2, β2=(1—2991+(1—21002, β3=(2—2991+(2—2992

解析
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