2. 考研
  3. 设二次型f(x1，x2，x3)=2x12一x22+ax32+2x1x2—8x1x3+2x2x3在正交变换x=Qy下的标准形为λ1y12+λ2y22，求a的值及正交矩阵Q。

设二次型f(x1，x2，x3)=2x12一x22+ax32+2x1x2—8x1x3+2x2x3在正交变换x=Qy下的标准形为λ1y12+λ2y22，求a的值及正交矩阵Q。

admin2021-01-19  56
问题 设二次型f(x1，x2，x3)=2x12一x22+ax32+2x1x2—8x1x3+2x2x3在正交变换x=Qy下的标准形为λ1y12+λ2y22，求a的值及正交矩阵Q。
选项
答案二次型f的矩阵A=[*]。因为其标准形为λ1y12+λ2y22，所以｜A｜=[*]=3(2－a)=0。 解得a=2。 再由 ｜λE一A｜=[*]=λ(λ+3)(λ一6)=0 解得λ1=6，λ2=一3，λ3=0。 当λ=6时，6E－A=[*]，对应的一个特征向量为(一1，0，1)T； 当λ=一3时，一3E一A=[*]，对应的一个特征向量为(1，一1，1)T； 当λ=0时，0E—A=[*]，对应的一个特征向量为(1，2，1)T。 由于上述三个特征向量已经正交，故将其直接单位化，可得 [*]
解析
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考研数学二

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