设二次型f(x1,x2,x3)=2x12一x22+ax32+2x1x2—8x1x3+2x2x3在正交变换x=Qy下的标准形为λ1y12+λ2y22,求a的值及正交矩阵Q。

admin2021-01-19  59

问题 设二次型f(x1,x2,x3)=2x12一x22+ax32+2x1x2—8x1x3+2x2x3在正交变换x=Qy下的标准形为λ1y122y22,求a的值及正交矩阵Q。

选项

答案二次型f的矩阵A=[*]。因为其标准形为λ1y122y22,所以|A|=[*]=3(2-a)=0。 解得a=2。 再由 |λE一A|=[*]=λ(λ+3)(λ一6)=0 解得λ1=6,λ2=一3,λ3=0。 当λ=6时,6E-A=[*],对应的一个特征向量为(一1,0,1)T; 当λ=一3时,一3E一A=[*],对应的一个特征向量为(1,一1,1)T; 当λ=0时,0E—A=[*],对应的一个特征向量为(1,2,1)T。 由于上述三个特征向量已经正交,故将其直接单位化,可得 [*]

解析
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