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  3. 过点(3，1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为( )。

过点(3，1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为( )。

admin2023-02-21  55
问题 过点(3，1)作圆(x-1)2+y2=1的两条切线，切点分别为A，B，则直线AB的方程为(          )。
选项 A、2x+y-3=0
B、2x-y-3=0
C、4x-y-3=0
D、4x+y-3=0
E、以上选项均不正确
答案A
解析 直线与圆的位置关系
  设(3，1)为点P，圆心为C(1，0)，则设过点P的圆C的切线方程为y-1=k(x-3)。
  由圆心到切线的距离等于半径，得

解得k=0或4/3．故切线方程为y=1或4x-3y-9=0。
联立切线与圆的方程，得可知其中一个切点为(1，1)。
又因为kPC=，由直线PC与直线AB相互垂直，所以kAB=-1/kPC=-2，即弦AB所在的直线方程为y-1=-2(x-1)，即2x+y-3=0。
【快速得分法】圆的直径式方程：若圆的直径端点A1(x1，y1)，A2(x2，y2)，则圆的方程为
    (x-x1)(x-x2)+(y-y1)(y-y2)=0。
设(3，1)为点P，圆心为C(1，0)，以PC为直径的圆的方程为(x-3)(x-1)+y(y-1)=0，整理得x2-4x+y2-y+3=0。
联立两个圆的方程，得两式相减，得两圆交点的直线方程为2x+y-3=0。
  通过画图易知，直径所对的圆周角是直角，故两圆的交点也是所求切点A、B，其直线方程为2x+y-3=0。
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