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设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内存在二阶导数,且 2f(0)=∫02f(x)dx=f(2)+f(3) 证明存在ξ∈(0,3),使得f”(ξ)=0.
设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内存在二阶导数,且 2f(0)=∫02f(x)dx=f(2)+f(3) 证明存在ξ∈(0,3),使得f”(ξ)=0.
admin
2022-09-05
40
问题
设函数f(x)在[0,3]上连续,在(0,3)内存在二阶导数,且
2f(0)=∫
0
2
f(x)dx=f(2)+f(3)
证明存在ξ∈(0,3),使得f”(ξ)=0.
选项
答案
[*]介于f(x)在[2,3]上的最小值和最大值之间,根据连续函数的介值定理,存在ξ∈[2,3]使得[*] 由于f(0)=f(η)=f(ξ),且0<η<ξ≤3,根据罗尔定理,存在ξ
1
∈(0,η),ξ
2
∈(η,ξ),使得f’(ξ
1
)=0,f’(ξ
2
)=0,从而存在ξ∈(ξ
1
,ξ
2
)[*](0,3)使得 f”(ξ)=0.
解析
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考研数学三
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