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  3. 已知齐次线性方程组 其中≠0。试讨论a1，a2，…，an和b满足何种关系时： (I)方程组仅有零解； (Ⅱ)方程组有非零解，在有非零解时，求此方程组的一个基础解系。

已知齐次线性方程组 其中≠0。试讨论a1，a2，…，an和b满足何种关系时： (I)方程组仅有零解； (Ⅱ)方程组有非零解，在有非零解时，求此方程组的一个基础解系。

admin2018-02-07  43
问题 已知齐次线性方程组

其中≠0。试讨论a1，a2，…，an和b满足何种关系时：
(I)方程组仅有零解；
(Ⅱ)方程组有非零解，在有非零解时，求此方程组的一个基础解系。
选项
答案方程组的系数矩阵的行列式 [*] (I)当b≠0且b+[*]≠0时，r(A)=0，方程组仅有零解。 (Ⅱ)当b=0时，原方程组的同解方程组为a1x1+a2x2+…+anxn=0。 由[*]≠0可知，ai(i=1，2，…，n)不全为零。不妨设a1≠0，得原方程组的一个基础解系为 α1=(一a2，a1，1，0，…，0)T，α2=(一a3，0，a1，…，0)T，…，αn－1=(一an，0，0，…，a1)T。 当b=[*]时，有b≠0，原方程组的系数矩阵可化为 [*] (将第一行的一1倍加到其余各行，再从第二行到第n行同乘以[*]倍) [*] (将第i行的一ai(i=2，3，…，n)倍加到第一行，再将第一行移到最后一行) [*] 由此得原方程组的同解方程组为 x2=x1，x3=x1，…，xn=x1。 原方程组的一个基础解系为α=(1，1，…，1)T。
解析
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考研数学二

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