2. 专升本
  3. 设f(x)在[0，c]上有定义，f’(x)存在且单调减少，f(0)=0，证明对于0≤a≤b≤a+b≤c，恒有f(a+b)≤f(a)+f(b)．

设f(x)在[0，c]上有定义，f’(x)存在且单调减少，f(0)=0，证明对于0≤a≤b≤a+b≤c，恒有f(a+b)≤f(a)+f(b)．

admin2018-10-17  27
问题 设f(x)在[0，c]上有定义，f’(x)存在且单调减少，f(0)=0，证明对于0≤a≤b≤a+b≤c，恒有f(a+b)≤f(a)+f(b)．
选项
答案在[0，a]上用拉格朗日中值定理得 f(a)一f(0)=f’(ξ)(a一0)，(0＜ξ＜a) 即有 f(a)=af’(ξ)，(0＜ξ＜a) 再对f(x)在[b，a+b]上应用拉格朗日中值定理得 f(b+a)=f(b)+f’(η)a，(b＜η＜a+b) 因为f’(x)单调减少，且ξ＜a≤b＜η，则有f’(ξ)＞f’(η)，而a≥0，故af’(ξ)≥af’(η)，于是 f(a+b)≤f(b)+af’(ξ)=f(b)+f(a)．
解析
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