(1)设A是对角矩阵，并且对角线上元素两两不相等．证明和A乘积可交换的一定是对角矩阵． (2)n阶矩阵C如果和任何n阶矩阵乘积可交换，则C必是数量矩阵．

admin2021-11-09 35

问题 (1)设A是对角矩阵，并且对角线上元素两两不相等．证明和A乘积可交换的一定是对角矩阵．
(2)n阶矩阵C如果和任何n阶矩阵乘积可交换，则C必是数量矩阵．

选项

答案(1)设B和A乘积可交换，要证明B是对角矩阵，即要说明B的对角线外的元素b_ij(i≠j)都为0 设A的对角线元素为λ₁，λ₂，…，λ_n．则AB的(i，j)位元素为λ_ib_ij，而BA的(i，j)位元素为λ_jb_ij.因为AB=BA，得 a_ib_ij=λ_jb_ij．因为λ_i≠λ_j，所以b_ij=0． (2)先说明C一定是对角矩阵．由于C与对角线上元素两两不相等的n阶对角矩阵乘积可交换，由(1)的结论得出C是对角矩阵．再说明C的对角线元素c₁₁，c₂₂，…，c_nn都相等．构造n阶矩阵A，使得其(i，j)位元素为1，i≠j，则 CA的(i，j)位元素为c_ii，AC的(i，j)位元素为c_jj．于是c_ii=c_jj．这里的i，j是任意的，从而 c₁₁=c₂₂=…=c_nn．

解析

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考研数学二

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(1)设A是对角矩阵，并且对角线上元素两两不相等．证明和A乘积可交换的一定是对角矩阵． (2)n阶矩阵C如果和任何n阶矩阵乘积可交换，则C必是数量矩阵．

考研数学二

设L：(a＞0，0≤t≤2π)(1)求曲线L与χ轴所围成平面区域D的面积；(2)求区域D绕χ轴旋转一周所成几何体的体积．

设曲线y＝a＋χ－χ3，其中a＜0．当χ＞0时，该曲线在χ轴下方与y轴、χ轴所围成图形的面积和在χ轴上方与χ轴所围成图形的面积相等，求a．

设f(χ)＝∫01｜χ－y｜sindy(0＜χ＜1)，求f〞(χ)．

设n阶矩阵A＝(α1，α2，…，αn)的前n－1个列向量线性相关，后n－1个列向量线性无关，且α1＋2α2＋…＋(n－1)αn-1＝0，b＝α1＋α2＋…＋αn．(1)证明方程组AX＝b有无穷多个解；(2)求方程组AX＝b的通解．

求方程组的通解．

设f(χ)在[a，b]上二阶可导且f〞(χ)＞0，证明：f(χ)在(a，b)内为凹函数．

一半球形雪堆融化速度与半球的表面积成正比，比例系数为k＞0，设融化过程中形状不变，设半径为r0的雪堆融化3小时后体积为原来的，求全部融化需要的时间．

若函数f(x)的二阶导数连续，且满足f"(x)-f(x)=x，则=()

设A为三阶实对称矩阵，A的每行元素之和为5，AX=0有非零解且λ1=2是A的特征值，对应特征向量为（-1,0,1）T.求A。

若f(χ)的一个原函数是arctanχ，则∫χf(1－χ2)dχ＝_______．【】

（2019年济宁市属）教师职业是普通职业。（）

患者孙某，女性，69岁。头痛昏蒙，胸脘痞闷，呕恶痰涎，舌苔白腻，脉弦滑。其治方为

GB/T19000—2000族标准质量管理体系是以过程为基础建立的，其质量管理的循环过程包括(　　)。

格里高利圣咏

他事先没有充分研究，(　　)得出了错误的结论。

十三行

甲将作品《四进士》改编成京剧剧本，乙开办的大舞台使用该剧本表演京剧。则下列表述正确的是()。

设L：(a＞0，0≤t≤2x)．求区域D绕x轴旋转一周所成几何体的体积．

大多数常用的UVEPROM的最大读取时间和静态、动态RAM芯片的最大存取时间的数量级为(　　　)。

在文件系统中，文件的不同物理结构有不同的优缺点。在下列文件的物理结构中()结构不具有直接读写文件任意一个记录的能力。

(1)设A是对角矩阵，并且对角线上元素两两不相等．证明和A乘积可交换的一定是对角矩阵． (2)n阶矩阵C如果和任何n阶矩阵乘积可交换，则C必是数量矩阵．

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设曲线y＝a＋χ－χ3，其中a＜0．当χ＞0时，该曲线在χ轴下方与y轴、χ轴所围成图形的面积和在χ轴上方与χ轴所围成图形的面积相等，求a．

设f(χ)＝∫01｜χ－y｜sindy(0＜χ＜1)，求f〞(χ)．

设n阶矩阵A＝(α1，α2，…，αn)的前n－1个列向量线性相关，后n－1个列向量线性无关，且α1＋2α2＋…＋(n－1)αn-1＝0，b＝α1＋α2＋…＋αn．(1)证明方程组AX＝b有无穷多个解；(2)求方程组AX＝b的通解．

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设f(χ)在[a，b]上二阶可导且f〞(χ)＞0，证明：f(χ)在(a，b)内为凹函数．

一半球形雪堆融化速度与半球的表面积成正比，比例系数为k＞0，设融化过程中形状不变，设半径为r0的雪堆融化3小时后体积为原来的，求全部融化需要的时间．

若函数f(x)的二阶导数连续，且满足f"(x)-f(x)=x，则=()

设A为三阶实对称矩阵，A的每行元素之和为5，AX=0有非零解且λ1=2是A的特征值，对应特征向量为（-1,0,1）T.求A。

若f(χ)的一个原函数是arctanχ，则∫χf(1－χ2)dχ＝_______．【】

（2019年济宁市属）教师职业是普通职业。（）

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GB/T19000—2000族标准质量管理体系是以过程为基础建立的，其质量管理的循环过程包括( )。

格里高利圣咏

他事先没有充分研究，( )得出了错误的结论。

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甲将作品《四进士》改编成京剧剧本，乙开办的大舞台使用该剧本表演京剧。则下列表述正确的是()。

设L：(a＞0，0≤t≤2x)．求区域D绕x轴旋转一周所成几何体的体积．

大多数常用的UVEPROM的最大读取时间和静态、动态RAM芯片的最大存取时间的数量级为( )。

在文件系统中，文件的不同物理结构有不同的优缺点。在下列文件的物理结构中()结构不具有直接读写文件任意一个记录的能力。

GB/T19000—2000族标准质量管理体系是以过程为基础建立的，其质量管理的循环过程包括(　　)。

他事先没有充分研究，(　　)得出了错误的结论。

大多数常用的UVEPROM的最大读取时间和静态、动态RAM芯片的最大存取时间的数量级为(　　　)。