2. 考研
  3. 设A，B均为n阶方阵，且A为可逆矩阵，B为不可逆矩阵，A*，B*分别为A，B的伴随矩阵，则( )．

设A，B均为n阶方阵，且A为可逆矩阵，B为不可逆矩阵，A*，B*分别为A，B的伴随矩阵，则( )．

admin2015-12-22  26
问题 设A，B均为n阶方阵，且A为可逆矩阵，B为不可逆矩阵，A*，B*分别为A，B的伴随矩阵，则(    )．
选项 A、A*+B*必为可逆矩阵
B、A*+B*必为不可逆矩阵
C、A*B*必为可逆矩阵
D、A*B*必为不可逆矩阵
答案D
解析 可利用A*的秩与A的秩的关系判别．当A为满秩矩阵(或为列满秩矩阵)时，还可利用秩(AB)=秩(B)，简易判别．
    解一  因A为可逆矩阵，故秩(A)=n，因而秩(A*)=n，而B为不可逆矩阵，故秩(B)≤n一1，从而秩(B*)≤1．于是
    秩(A*B*)一秩(B*)≤1，
    故A*B*必为不可逆矩阵．
    解二  用反证法证之．如A*B*可逆，由题设又知A可逆，则A*=∣A∣A-1可逆．(A*)-1存在，则(A*)-1(A*B*)为两个可逆矩阵的乘积，故也可逆，即
    (A*)-1A*B=[(A*)-1A*]B*=B*
    可逆，进而B可逆．这与题设矛盾，故A*B*不可逆．
    解三  用排错法确定选项．设
       
则A可逆，B不可逆，易求得
       
则不可逆，且也不可逆．因而(A)、(C)都不对．
    如令
    因，故A*+B*可逆，(B)也不对．
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考研数学二

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