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  3. 三元二次型f＝XTAX经过正交变换化为标准形f＝y12＋y22－2y32，且A*＋2E的非零特征值对应的特征向量为α1＝，求此二次型．

三元二次型f＝XTAX经过正交变换化为标准形f＝y12＋y22－2y32，且A*＋2E的非零特征值对应的特征向量为α1＝，求此二次型．

admin2017-09-15  44
问题 三元二次型f＝XTAX经过正交变换化为标准形f＝y12＋y22－2y32，且A*＋2E的非零特征值对应的特征向量为α1＝，求此二次型．
选项
答案因为f＝XTAX经过正交变换后的标准形为f＝y12＋y22－2y32，所以矩阵A的特征值为λ1＝λ2＝1，λ3＝2． 由｜A｜＝λ1λ2λ3＝－2得A*的特征值为μ1＝μ2＝2，μ3＝1，从而A*＋2E的特征值为0，0，3，即α1为A*＋2E的属于特征值3的特征向量，故也为A的属于特征值λ3＝－2的特征向量． 令A的属于特征值λ1＝λ2＝1的特征向量为α＝[*]，因为A为实对称矩阵，所以有α1Tα＝0，即χ1＋χ3＝0故矩阵A的属于λ1＝λ2＝1的特征向量为 [*] 所求的二次型为 f＝XTAX＝－[*]χ12＋χ22－[*]χ32－3χ1χ3．
解析
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考研数学二

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