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  3. 求曲面z=x2+y2+1上的点M0(1，-1，3)处的切平面与曲面z=x2+y2所围空间区域的体积V．

求曲面z=x2+y2+1上的点M0(1，-1，3)处的切平面与曲面z=x2+y2所围空间区域的体积V．

admin2022-07-21  13
问题 求曲面z=x2+y2+1上的点M0(1，-1，3)处的切平面与曲面z=x2+y2所围空间区域的体积V．
选项
答案所求体积V是以切平面为顶的柱体体积与曲面z=x2+y2为顶的柱体体积之差．因此，需求出切平面方程，以及切平面与曲面z=x2+y2的交线在xOy面的投影曲线 曲面z=x2+y2+1在点M0(1，-1，3)处的法向量为{2，-2，-1}，切平面方程为 2(x-1)-2(y+1)-(z-3)=0或2x-2y-z-1=0 切平面与曲面z=x2+y2的交线为[*] 交线在xOy面的投影曲线[*]所围的区域为D．故所求体积为 V=[*][2x-2y-1-(x2+y2)]dxdy=[*][1-(x-1)2-(y+1)2]dxdy 令x-1=ρcosθ，y+1=ρsinθ，则V=∫02πdθ∫01[1-ρ2]ρdρ=π/2．
解析
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考研数学一

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