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求曲线x3一xy+y3=1(x≥0,y≥0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离.
求曲线x3一xy+y3=1(x≥0,y≥0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离.
admin
2017-04-24
39
问题
求曲线x
3
一xy+y
3
=1(x≥0,y≥0)上的点到坐标原点的最长距离与最短距离.
选项
答案
设(x,y)为曲线上的点,目标函数为f(x,y)=x
2
+y
2
,构造拉格朗日函数 L(x,y,λ)=x
2
+y
2
+λ(x
3
一xy+y
3
—1). 令 [*]= 2x+(3x
2
一 y)λ= 0 ① [*]= 2y+(3y
2
一x)λ=0 ② [*]= x
3
一xy+y
3
一1=0 ③ 当x>0,y>0时,由①,②得[*]即3xy(y一x)=(x+y)(x一y),得y=x,或3xy=一(x+y)(由于x>0,y>0,舍去). 将y=x代入③得2x
3
一x
2
一1=0,即(2x
2
+x+1) (x一1)=0,所以(1,1)为唯一可能的极值点,此时[*] 当x=0,y=1或x=1,y=0时, [*] 故所求最长距离为[*],最短距离为1.
解析
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