设f(x)连续,且∫0xtf(2x一t)dt=arctanx3,f(1)=1,求∫12f(x)dx。

admin2018-12-19  45

问题 设f(x)连续,且∫0xtf(2x一t)dt=arctanx3,f(1)=1,求∫12f(x)dx。

选项

答案令2x一t=u,则原等式变为 ∫x2x(2x一u)f(u)du=arctanx3,即2x∫x2xf(u)du—∫x2xuf(u)du=arctan(x3), 两边同时对x求导,可得 2∫x2xf(u)du—xf(x)=[*] 令x=1,则上面的等式可化为2∫12f(u)du一f(1)=[*],由已知条件f(1)=1可知∫12f(x)dx=[*]。

解析
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