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设两个随机变量X与Y相互独立且同分布:P(X=-1)=P(y=-1)=1/2,P(X=1)=P(Y-1)=1/2,则下列各式中成立的是( ).
设两个随机变量X与Y相互独立且同分布:P(X=-1)=P(y=-1)=1/2,P(X=1)=P(Y-1)=1/2,则下列各式中成立的是( ).
admin
2019-07-12
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问题
设两个随机变量X与Y相互独立且同分布:P(X=-1)=P(y=-1)=1/2,P(X=1)=P(Y-1)=1/2,则下列各式中成立的是( ).
选项
A、P(X=Y)=1/2
B、P(X=Y)=1
C、P(X+Y=0)=1/4
D、P(XY=1)=1/4
答案
A
解析
解一 仅(A)入选.首先要注意X与Y同分布绝不是X=Y或P(X=Y)=1.下面将随机变量表示的事件{X=Y),{X+Y}及{XY}分解为互斥事件的和事件,再求其概率.
{X=Y}={X=1,Y=1}+{X=-1,Y=-1} (两事件互斥),
{X+Y=0}={X=1,Y=-1}+{X=-1,Y=1) (两事件互斥),
{XY}=1={X=1,Y=1}+{X=-1,Y=-1} (两事件互斥).
再由两事件的独立性及互斥性,由已给的分布得到
P(X=Y)=P(X=1,Y=1)+P(X=-1,Y=-1)
=P(X=1)P(Y=1)+P(X=-1)P(Y=-1)
=2×(1/4)=1/2,
P(X+Y=0)=P(X=1,Y=-1)+P(X=-1,Y=1)
=P(X=1)P(Y=-1)+P(X=-1)P(Y=1)=1/2,
P(XY=1)=P(X=1,Y=1)+P(X=-1,Y=-1)
=P(X=1)P(Y=1)+P(X=-1)P(Y=-1)-1/2.
解二 仅(A)入选.用同一表格法求之.由题设条件易求得
故P(X=Y)=P(X=-1,Y=-1)+P(X=Y=1)=1/4+1/4=1/2,
P(X+Y=0)=P(X=-1,Y=1)+P(X=1,Y=-1)=1/4+1/4=1/2,
P(XY=1)=P(X=-1,Y=-1)+P(X=1,Y=1)=1/4+1/4=1/2.
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考研数学三
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