2. 考研
  3. 设f(x)在(x0-δ，x0+δ)有n阶连续导数，且f(k)(0)=0，k=2，3，…，n-1；f(n)(x0)≠0．当0＜｜h｜＜δ时，f(x0+h)=f(x0)=hf’(x0+θh)，(0＜θ＜1)．求证：

设f(x)在(x0-δ，x0+δ)有n阶连续导数，且f(k)(0)=0，k=2，3，…，n-1；f(n)(x0)≠0．当0＜｜h｜＜δ时，f(x0+h)=f(x0)=hf’(x0+θh)，(0＜θ＜1)．求证：

admin2021-11-09  33
问题 设f(x)在(x0-δ，x0+δ)有n阶连续导数，且f(k)(0)=0，k=2，3，…，n-1；f(n)(x0)≠0．当0＜｜h｜＜δ时，f(x0+h)=f(x0)=hf’(x0+θh)，(0＜θ＜1)．求证：
选项
答案这里m=1，求的是f(x0+h)-f(x0)=hf’(x0+θh)(0＜θ＜1)当h→0时中值θ的极限．为解出θ，按题中条件，将f’(x0+θh)在x=x0展开成带皮亚诺余项的n-1阶泰勒公式得 f’(x0+θh)=f’(x0)+f’’(x0)θh+[*]f(3)(x0)(θh)2+…+[*]f(n)(x0)(θh)n-1+o(hn-1) =f’(x0)+[*]f(n)(x0)(θh)n-1+o(hn-1)(h→0)， 代入原式得 (x0+h)-f(x0)=hf’(x0)+[*]f(n)(x0)θn-1hn+o(hn) ① 再将f(x0+h)在x=x0展开成带皮亚诺余项的n阶泰勒公式 f(x0+h)-f(x0)=f’(x0)h+…+[*]f(n)(x0)hb+o(hn) =f’(x0)h+[*]f(n)(x0)hn+o(hn)(h→0)， ② 将②代入①后两边除以hn得 [*] 令h→0，得 [*]
解析
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考研数学二

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