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  3. 已知二次型f(x1，x2，x3)=(1一a)x12+(1一a)x22+2x32+2(1+a)1x2的秩为2． (Ⅱ

已知二次型f(x1，x2，x3)=(1一a)x12+(1一a)x22+2x32+2(1+a)1x2的秩为2． (Ⅱ

admin2018-08-03  77
问题 已知二次型f(x1，x2，x3)=(1一a)x12+(1一a)x22+2x32+2(1+a)1x2的秩为2．
(Ⅱ
选项
答案当a=0时，A=[*]=(λ一2)2λ 可知A的特征值为λ1=λ2=2，λ3=0． A的属于λ1=2的线性无关的特征向量为 η1=(1，1，0)T，η2=(0，0，1)T A的属于λ3=0的线性无关的特征量为 η3=(一1，1，0)2 易见η1，η2，η3两两正交．将η1，η2，η3单位化得 e1=[*](1，1，0)2，e2=(0，0，1)2，e3=[*](一1，1，0)2 取Q=(e1，e2，e3)，则Q为正交矩阵．作正交变换x=Qy，得f的标准形为 f(x1，x2，x3)=λ1y12+λ2y22+λ3y32=2y12+2y22．
解析
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考研数学一

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