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  3. 已知f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(1)=0，证明：在区间(0，1)内至少有一点ξ，使得

已知f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(1)=0，证明：在区间(0，1)内至少有一点ξ，使得

admin2020-05-02  21
问题 已知f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，且f(1)=0，证明：在区间(0，1)内至少有一点ξ，使得
选项
答案令F(x)=xf(x)，则由f(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，得F(x)在[0，1]上连续，在(0，1)内可导，再由f(1)=0得F(1)=0，而F(0)=0，由罗尔定理，可知至少存在一点ξ∈(0，1)，使得F′(ξ)=0．而由 F′(x)=xf′(x)+f(x) 得 F′(ξ)=ξf′(ξ)+f(ξ)=0 由于ξ∈(0，1)，则ξ≠0，且 [*] 故在区间(0，1)内至少存在一点ξ，使得[*]
解析
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考研数学一

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