设函数f(x)连续，且∫0xf(t)dt=sin2x+∫0xtf(x－t)dt．求f(x)．

admin2019-06-28 38

问题设函数f(x)连续，且∫₀^xf(t)dt=sin²x+∫₀^xtf(x－t)dt．求f(x)．

选项

答案将 ∫₀^xtf(x－t)[*]∫_x⁰(x－u)f(u)(－du)=∫₀^x(x－u)f(u)du =x∫₀^xf(u)du－∫₀^xuf(u)du 代入原方程即得∫₀^xf(t)dt=sin²x+x∫₀^xf(u)du－∫₀^xuf(u)du． ① 由f(x)连续可见以上方程中各项均可导．将方程①两端对x求导即得 f(x)=2sinxcosx+∫₀^xf(u)du=sin2x+∫₀^xf(u)du． ② (在①中令x=0，得0=0，不必另加条件①与②同解．) 在②式中令x=0可得f(0)=0，由②式还可知f(x)可导，于是将它两端对x求导，又得 f’(x)=2cos2x+f(x)．故求y=f(x)等价于求解初值问题[*]的特解．解之可得 y=f(x)=[*](e^x+2sinx－cos2x)．

解析

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考研数学二

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