设f(x)在[1，2]上具有二阶导数f″(x)，且f(2)=f(1)=0，如果F(x)=(x一1)f(x)，试证明至少存在一点ξ∈(1，2)，使F″(ξ)=0。

admin2018-08-06 29

问题设f(x)在[1，2]上具有二阶导数f″(x)，且f(2)=f(1)=0，如果F(x)=(x一1)f(x)，试证明至少存在一点ξ∈(1，2)，使F″(ξ)=0。

选项

答案设G(x)=F(x)一(x一2)f(1)，则G(x)在[1，2]上连续，在(1，2)内可导，而G(1)=f(1)，G(2)=f(2)，于是由f(2)=f(1)=0知G(1)=G(2)。由罗尔定理知在(1，2)内至少有一点ξ₁使G′(ξ₁)=0，即F′(ξ₁)=f(1)，又由F′(x)=f(x)+(x一1)f′(x)知F′(1)=f(1)，显然F′(x)=f(x)+(x—1)f′(x)在[1，ξ₁]上满足罗尔定理条件，于是在(1，ξ₁)内至少有一点ξ使F″(ξ)=0，即在(1，2)内至少有一点ξ使F″(ξ)=0。

解析

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