设函数y=y(x)在(-∞，+∞)内具有二阶导数，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数．试将x=x(y)所满足的微分方程(d2x)/(dy2)+(y+sinx)(dx/dy)=0变换为y=y(x)满足的微分方程；

admin2012-02-09 29

问题设函数y=y(x)在(-∞，+∞)内具有二阶导数，且y’≠0，x=x(y)是y=y(x)的反函数．
试将x=x(y)所满足的微分方程(d²x)/(dy²)+(y+sinx)(dx/dy)=0变换为y=y(x)满足的微分方程；

选项

答案实质上是求反函数的一、二阶导数的问题．由反函数求导公式知 dx/dy=1/y’,(d²x)/(dy²)=(dx/dy)’=(1/y’)_y’=(1/y’)_x’dx/dy=-y"/y’³=-y"(dx/dy)³ 代入原微分方程，便得常系数的二阶线性微分方程y"-y=sinx． (*)

解析

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