已知抛物线y=ax2+bx(其中a<0,b>0)在第一象限内与直线x+y=5相切,且此抛物线与x轴所围成的平面图形的面积为S,问当a,b为何值时,S最大?最大值是多少?

admin2017-10-19  29

问题 已知抛物线y=ax2+bx(其中a<0,b>0)在第一象限内与直线x+y=5相切,且此抛物线与x轴所围成的平面图形的面积为S,问当a,b为何值时,S最大?最大值是多少?

选项

答案由图1—5—3可知,抛物线与z轴交点的横坐标为x1=0 [*] 由直线x+y=5与抛物线y=ax2+bx相切可知,它们有唯一的交点,其坐标满足方程 [*] 将方程①代入方程②得 ax2+(b+1)x一5=0. 其判别式必等于零,即△=(b+1)2+20a=0, [*] 因为,当0<b<3时,S’(b)>0;当b>3时,S’(b)<0.所以,当b=3时,S(b)取极大值,即最大值[*].

解析 利用定积分求面积,容易得到其面积是a,b的函数S(a,b),问题是如何求S(a,b)的最大值.因为抛物线与固定直线相切,所以a与b并非独立变量.利用相切的条件可求出它们之间的函数关系,于是将问题转化为一元函数求最值的问题.
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