（2009年真题）已知A=(aii)为三阶矩阵，ATA=E(AT是A的转置矩阵，E是单位矩阵)，若a11=-1，b=(1，0，0)T，则方程组Ax=b的解x=[ ]。

admin2015-04-14 39

问题（2009年真题）已知A=(a_ii)为三阶矩阵，A^TA=E(A^T是A的转置矩阵，E是单位矩阵)，若a₁₁=-1，b=(1，0，0)^T，则方程组Ax=b的解x=[ ]。

选项 A、(-1，1，0)^T
B、(-1，0，1)^T
C、(-1，-1，0)^T
D、(-1，0，0)^T

答案D

解析本题考查了矩阵的运算(转置、乘法、逆矩阵)与解线性方程组。
解法1
设A=(a_ii)=

，因
A^TA=E，所以A^-1=A^T。
由A^-1=E得，A^T=E。
由A^T=E可得，1+a₁₂²+a₁₃²=1，
所以a₁₂=0，a₁₃=0。
由A^TA=E
可得，1+a₂₁²+a₃₁²=1，
所以a₂₁=0，a₃₁=0。
因此A^T=

，方程Ax=b
两边左乘A^T，得A^TAx=A^Tb，
从而

。
故正确选项为D。
解法2
用特殊矩阵代入法。设

，
它满足题设条件A^TA=E，显然A^-1=A。
方程Ax=b两边左乘A^-1得

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GCT工程硕士（数学）

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