设A为m×n实矩阵，E为n阶单位矩阵。已知矩阵B=λE+ATA，试证：当λ＞0时，矩阵B为正定矩阵。

admin2015-09-14 50

问题设A为m×n实矩阵，E为n阶单位矩阵。已知矩阵B=λE+A^TA，试证：当λ＞0时，矩阵B为正定矩阵。

选项

答案因为 B^T=(λE+A^TA)^T=λE+A^TA=B 所以B为n阶对称矩阵。对于任意的实n维向量x，有 x^TBx=x^T(λE+A^TA)x=λx^Tx+x^TA^TAx=λx^Tx+(Ax)^T(Ax) 当x≠0时，有x^Tx＞0，(Ax) ^T (Ax)≥0．因此，当λ＞0时，对任意的x≠0，有 x^TBx=λx^Tx+(Ax)^T(Ax)＞0 即B为正定矩阵。

解析

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考研数学三

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