设A，B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则 ( )

admin2016-09-19 31

问题设A，B为n阶矩阵，且A与B相似，E为n阶单位矩阵，则 ( )

选项 A、λE－A=λE－B
B、A与B有相同的特征值和特征向量
C、A与B都相似于一个对角矩阵
D、对任意常数t，tE－A与tE－B相似

答案D

解析 A与B相似，存在可逆矩阵P，使得P^－1AP=B，则
tE－B=tE－P^－1AP=P^－1(tE)P－P^－1AP=P^－1(tE－A)P，
即tE－A与tE－B相似，选(D)．对于(A)：由λE－A=λE－B，有A=B；对于(B)：A与B相似，则A与B有相同的特征值，但特征向量不一定相同；对于(C)：A与B不一定能够相似对角化．

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