2. 考研
  3. 已知η是非齐次线性方程组Aχ＝b的一个特解，ξ1，ξ2，…，ξn-r是对应齐次线性方程组Aχ＝0的基础解系．证明： (Ⅰ)η，η＋ξ1，η＋ξ2，…，η＋ξn-r，是Aχ＝b的n－r＋1个线性无关解； (Ⅱ)方程组Aχ＝b的任一个解均可由η

已知η是非齐次线性方程组Aχ＝b的一个特解，ξ1，ξ2，…，ξn-r是对应齐次线性方程组Aχ＝0的基础解系．证明： (Ⅰ)η，η＋ξ1，η＋ξ2，…，η＋ξn-r，是Aχ＝b的n－r＋1个线性无关解； (Ⅱ)方程组Aχ＝b的任一个解均可由η

admin2016-03-16  51
问题 已知η是非齐次线性方程组Aχ＝b的一个特解，ξ1，ξ2，…，ξn-r是对应齐次线性方程组Aχ＝0的基础解系．证明：
    (Ⅰ)η，η＋ξ1，η＋ξ2，…，η＋ξn-r，是Aχ＝b的n－r＋1个线性无关解；
    (Ⅱ)方程组Aχ＝b的任一个解均可由η，η＋ξ1，η＋ξ2，…，η＋ξn-r线性表出．
选项
答案(Ⅰ)Aη＝b，A(η＋ξi)＝Aη＝b，i＝1，2，…，n－r， 故η，η＋ξ1，η＋ξ2，…，η＋ξn-r均是Aχ＝b的解向量． 设有数k0，k1，k2，…，kn-r，使得 k0η＋k1(η＋ξ1)＋k2(η＋ξ2)＋…＋kn-r(η＋ξn-r)＝0， 整理得(k0＋k1＋…＋kn-r)η＋k1ξ1＋…＋kn-rξn-r＝0， (*) (*)式左乘A，得(k0＋k1＋…＋kn-r)b＝0，其中b≠0，得 k0＋k1＋…＋kn-r＝0， (**) 代入(*)，因ξ1，ξ2，…，ξn-r，是对应齐次方程组的基础解系，线性无关，得ki＝0，i＝1，2，…，n－r． 代入(**)，得k0＝0，从而有η，η＋ξ1，η＋ξ2，…，η＋ξn-r，是Aχ＝b的n－r＋1个线性无关解． (Ⅱ)Aχ＝b的任一解，设为η*，则η*＝η＋λ1ξ1＋λ2ξ2＋…＋λn-rξn-r， 且η＝η＋λ1ξ1＋λ2ξ2＋…＋λn-rξn-r ＝η＋λ1(ξ1＋η－η)＋λ2(ξ2＋η－η)＋…＋λn-r(ξn-r＋η－η) 故任一个Aχ＝b的解η*均可由向量组η，η＋ξ1，η＋ξ2，η＋ξn-r线性表出．
解析
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考研数学二

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