设函数f(x)在区间[0，a]上单调增加并有连续的导数，且f(0)=0，f(a)=b，求证： ∫0af(x)dx+∫0bg(x)dx=ab, 其中g(x)是f(x)的反函数．

admin2017-11-13 49

问题设函数f(x)在区间[0，a]上单调增加并有连续的导数，且f(0)=0，f(a)=b，求证：
∫₀^af(x)dx+∫₀^bg(x)dx=ab,
其中g(x)是f(x)的反函数．

选项

答案令F(a)=∫₀^af(x)dx+∫₀^f(a)g(x)dx-af(a)，对a求导得 F’(a)=f(a)+g[f(a)]f’(a)一af’(a)一f(a)，由题设g(x)是f(x)的反函数知g[f(a)]=a，故F’(a)=0，从而F(a)为常数．又F(0)=0，故F(a)=0，即原等式成立．

解析

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考研数学一

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设f(x)在[a，b]上连续，在(a，b)内二阶可导，f(a)=f(b)，且f(x)在[a，b]上不恒为常数，证明：存在ξ，η∈(a，b)，使得f’(ξ)＞0，f’(η)＜0．
在上半平面上求一条上凹曲线，其上任一点P(x，y)处的曲率等于此曲线在该点的法线段PQ的长度的倒数(Q为法线与x轴的交点)，且曲线在点(1，1)处的切线与x轴平行．
设，其中L是任一条光滑正向闭曲线，φ(1)＝1且原点在其所围成的区域之外．
计算曲线y=ln(1-x2)上相应于的一端弧的长度．
设曲线f(x)=xn在点(1，1)处的切线与x轴的交点为(xn，0)，计算
讨论f(x)的连续性．
设讨论它们在点(0，0)处的①偏导数的存在性；②函数的连续性；③方向导数的存在性；④函数的可微性．
设f(x)在(一∞，＋∞)连续，在点x＝0处可导，且f(0)＝0，令(I)试求A的值，使F(x)在(一∞，＋∞)上连续；(II)求F’(x)并讨论其连续性．

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