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考研
设A,B为挖阶矩阵,下列命题成立的是( ).
设A,B为挖阶矩阵,下列命题成立的是( ).
admin
2020-02-27
43
问题
设A,B为挖阶矩阵,下列命题成立的是( ).
选项
A、A与B均不可逆的充要条件是AB不可逆
B、R(A)<n与R(B)<n均成立的充要条件是R(AB)<n
C、Aχ=0与Bχ=0同解的充要条件是A与B等价
D、A与B相似的充要条件是E-A与E-B相似
答案
D
解析
A与B类似,故均错误,而C仅是必要而非充分条件,故应选D.
事实上,若A~B,则由相似矩阵的性质知E-A~E-B;
反之,若E-A~E-B,则E-(E-A)~E-(E-B),即A~B.
对于选项A,若A与B均不可逆,则|A|=|B|=0,从而|AB|=|A||B|=0,即AB不可逆,但若AB不可逆,推出A与B均不可逆,如A=E,B=
,则AB=B不可逆,但A可逆.
对于选项B,与选项A相近,由于R(AB)≤min{R(A),R(B)},故若R(A)<n与R(B)<n均成立,
则R(AB)<n但反之,若R(AB)<n,推不出R(A)<n或R(B)<n,如A=E,B=
,则R(AB)=R(B)=1<2,但R(A)=2.
对于选项C,由同型矩阵A与B等价
R(A)=R(B)可知,若Aχ=0与Bχ=0同解,则A与B等价;
但反之不然,如A=
,B=
,则A,B等价,但Aχ=0与Bχ=0显然不同解.
故应选D.
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考研数学三
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