求二元函数f(x，y)=x4+y4—2x2一2y2+4xy的极值．

admin2017-10-23 406

问题求二元函数f(x，y)=x⁴+y⁴—2x²一2y²+4xy的极值．

选项

答案为求函数f(x，y)的驻点，解如下方程组 [*] 得到三个驻点(x₁，y₁)=(0，0)，(x₂，y₂)=[*]．为判定上述三个驻点是否是极值点，再计算 [*] 在点(0，0)处，由于A(0，0)=一4＜0，B(0，0)=4，C(0，0)=一4，且AC—B²=0，故无法用充分条件判断点(0，0)是不是f(x，y)的极值点．但由于在直线y=x上，f(x，y)=2x⁴在x=0取极小值；而在直线y=一x上，f(x，一x)=2x⁴—8x²在x=0取极：大值，所以点(0，0)不是函数f(x，y)的极值点．在点([*])处，由于A=20＞0，B=4，C=20，AC—B²=384＞0，故f([*])=一8是函数f(x，y)的极小值．在点(一[*])处，由于A=20＞0，B=4，C=20，AC—B²=384＞0，故f(一[*])=一8也是函数f(x，y)的极小值．

解析

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考研数学三

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