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试分析下列各个结论是函数z=f(x，y)在点P0(x0，y0)处可微的充分条件还是必要条件．
试分析下列各个结论是函数z=f(x，y)在点P0(x0，y0)处可微的充分条件还是必要条件．
admin
2018-04-15
31
问题
试分析下列各个结论是函数z=f(x，y)在点P
0
(x
0
，y
0
)处可微的充分条件还是必要条件．
选项
答案
结论(1)～(5)中每一个分别都是z=f(x，y)在点P
0
(x
0
，y
0
)处可微的必要条件，而非充分条件．结论(7)是z=f(x，y)在点P
0
(x
0
，y
0
)处可微的充分非必要条件；而结论(6)是其既非充分又非必要条件． 因z=f(x，y)在点P
0
(x
0
，y
0
)处可微，故z=f(x，y)在点P
0
(x
0
，y
0
)处连续，即[*]=f(x
0
，y
0
)，则极限[*]f(x，y)必存在，于是z=f(x，y)在点P
0
(x
0
，y
0
)某邻域有界． 结论(3)表示一元函数F(x)=f(x，y
0
)在x
0
处连续，G(y)=f(x
0
，y)在y
0
处连续，它是二元函数z=f(x，y)在点P
0
(x
0
，y
0
)处连续的必要条件，而非充分条件．而z=f(x，y)在点P
0
(x
0
，y
0
)处连续又是其可微的必要条件，且非充分条件． 只要在z=f(x，y)在P
0
(x
0
，y
0
)的全微分定义△z=A△x+B△y+o(ρ)，ρ=[*]中取特殊情况，分别令△y=0与位△x0即证得结论(4)． 因为由函数z=f(x，y)在(x
0
，y
0
)处可微知，f’
x
(x
0
，y
0
)与f’
y
(x
0
，y
0
)都存在，故曲面f(x，y)=z=0在(x
0
，y
0
，f(x
0
，y
0
))处法向量n=f’
x
(x
0
，y
0
)i+f’
y
(x
0
，y
0
)j-k不是零向量．于是结论(5)成立． 结论(6)的[*][f’
x
(x，y
0
)-f’
x
(x
0
，y
0
)]=0表示偏导函数f’
x
(x，y)在y=y
0
时的一元函数f’
x
(x，y
0
)在x
0
处连续，它仅是二元偏导函数f’
x
(x
0
，y
0
)在P
0
(x
0
，y
0
)处连续的一个必要条件，对[*][f’
y
(x
0
，y)-f’
y
(x
0
，y
0
)]=0有类似的结果．而z=f(x，y)在P
0
(x
0
，y
0
)处可微又是f’
x
(x，y)，f’
y
(x，y)在P
0
(x
0
，y
0
)处连续的另一个必要条件，所以结论(6)既不是充分条件又不是必要条件． 结论(7)的等价形式是△x=f(x，y)-f(x
0
，y
0
)=o(ρ)，ρ=[*]，它是相应全微分定义中A=0，B=0的情形，则结论(7)是其可微的充分非必要条件．
解析
转载请注明原文地址:https://jikaoti.com/ti/rpVRFFFM
0
考研数学一
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