微分方程yy’’一(y’)2=0满足y(0)=1与y’(0)=1的特解是_________.

admin2014-02-05  56

问题 微分方程yy’’一(y)2=0满足y(0)=1与y(0)=1的特解是_________.

选项

答案ex

解析 【分析一】该二阶方程不显含x,令P=y,并以y为自变量可降阶为P的一阶方程.将代入方程得分离变量得积分得lnP=lny+C,由初值得C1=0.于是再积分并由初值得x=lny,即y=e2
【分析二】因为要求方程满足y(0)=1的特解,无妨设y>0,因而由商的求导法则,将方程两边同除y2方程可改写为积分即得利用y(0)=1与y(0)=1可确定常数C1=1.于是方程可化为(lny)=1,再积分即得lny=x+C2,利用y(0)=1又可确定常数C2=0.故所求特解为lny=x,即y=ex
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